Andrea Cannella @ Altervista.org – Maturità 2008

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Differenziale di una funzione

Sia data una funzione y=f(x) continua e derivabile nell’intervallo chiuso e limitato [a;b] e sia x un generico punto dell’intervallo.

Diamo ad x un incremento Dx=h passando così da x ad x+h. Di conseguenza anche l’ordinata subirà una variazione passando da f(x) a f(x+h). La funzione avrà dunque un incremento Dy=f(x+h)-f(x).

Secondo quanto detto accadrà che

Calcoliamo anche

che non è altro che la derivata prima di f(x).

Potremo perciò scrivere

.

Ma questa scritta sopra, ricordando la scrittura fuori dal limite, può essere riscritta come

  (1)

se è valida la seguente condizione  

Moltiplicando la (1) per Dx otterremo

    (2)

L’espressione si indica con df(x) o dy e prende il nome di differenziale.

Per definizione il differenziale della funzione relativo al punto x e all’incremento Dx è  il prodotto della derivata f ‘(x) per l’incremento Dx. Cioé:

df(x) = dy = f ‘ (x) Dx   (3)